UNIVERSIDAD IDUSTRIAL DE SANTANDER
CICLO INTRODUCTORIO
GEOMETRIA ANALITICA Mayo de 2014
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Las Secciones Cónicas. Las ecuaciones en la tabla tienen como
referencia el centro en (0,0); registrar la respectiva ecuación con centro en
(h,k).
Círculo
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Elipse
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Parábola
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Hipérbola
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Ecuación
(vértice horizontal):
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x2 +
y2 = r2
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x2 /
a2 + y2 / b2 = 1
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4px = y2
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x2 /
a2 - y2 / b2 = 1
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Ecuaciones
de las asíntotas:
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y = ±
(b/a)x
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|||
Ecuación
(vértice vertical):
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x2 +
y2 = r2
|
y2 /
a2 + x2 / b2 = 1
|
4py = x2
|
y2 /
a2 - x2 / b2 = 1
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Ecuaciones
de las asíntotas:
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x = ±
(b/a)y
|
|||
Variables:
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r = el radio del círculo
|
a = el radio mayor (= 1/2 la
longitud del eje mayor)
b = el radio menor (= 1/2 la longitud del eje menor) c = la distancia desde el centre al foco |
p = la distancia desde el
vértice al foco (o a la directriz)
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a = 1/2 la longitud del eje
mayor
b = 1/2 la longitud del eje menor c = la distancia desde el centro al foco |
Excentricidad:
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0
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c/a
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c/a
|
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El
Relación al Foco:
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p = 0
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a2 -
b2 = c2
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p = p
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a2 +
b2 = c2
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Definición:
es el conjunto de todos los puntos que cumple la condición...
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la
distancia al origen es constante
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la suma
del las distancias a cada foco es constante
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la
distancia al foco = la distancia a la directriz
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la
diferencia entre las distancias a cada foco es constante
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E.1 Sea P1 (0,15) y P2 (15,0) . ¿Hallar la
distancia entre los puntos dados y el
área
que tiene la figura formada con los ejes coordenados?
Los
parámetros de la recta se conocen como:
- Pendiente: se
simboliza con la letra m, está relacionada con la inclinación que
la recta presenta, respecto al eje x. (abscisa).
- Intercepto: se
simboliza con la letra b, está relacionada con el punto donde la
recta corta al eje y. (ordenada).
El trabajo con la recta se centra en que a partir de la
gráfica, se obtenga su
ecuación o viceversa.
Ecuación de la recta: a) ecuación canónica o llamada
también analítica y b) la
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ecuación general.
E.1 Una recta tiene como pendiente m= -2 y pasa
por el punto (3,4), hallar la
ecuación canónica y general,
trazar la recta.
Hallar
la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:
E.1.
(4,7) y ( -2,-3)
Rta: m = 5/3
E.2.
( -4,3) y ( 3,-2) Rta:
m = - 5/7
E.3.
( -2,3) y( 4,3)
Rta: m = 0
E.4.
(5,4) y (5,-4 )
Rta: m = intederminada
Hallar
la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas.
E.1.
Tiene pendiente 4 y el intercepto es -2 Rta. y =4x-2
E.2.
Pasa por el punto (2,-2) y tiene pendiente -3 Rta: y =-3x
+4
E.3.
Pasa por los puntos ( 8, 1 ) y ( -3,1) Rta: y = 1
E.4.
Intercepto en x = 4 y en y =-2 Rta:
x 2
E.5 Hallar la ecuación de la recta que se ve en
la gráfica.
E.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por
( - 2,4 ) y es paralela a la recta
x +3y- 2=0
.
Rta. 3y + x -10=0
E.7 Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el punto ( -5,4 ) , y es perpendicular a la
recta que pasa por (1,1) y (3,7 )
Rta. x +3y -7 =0
E.8 ¿Cuál será la ecuación de la recta en forma
general para aquella que pasa
por
el punto (3,4 ) y su pendiente es el doble de la pendiente de la recta 4x -6y-12 =0
Rta. 3y +4x -24 =0
E.9. Calcula la ecuación de la circunferencia que
tiene su centro en (2, −3) y es tangente al eje de abscisas.
(Abscisas:
eje X; Ordenadas: eje Y ).
E.10.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (−1, 4) y es
tangente al eje de ordenadas.
E.11
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección
de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
E.12 Hallar la ecuación de la circunferencia
concéntrica con la ecuación
x2
+ y2 – 6x + 2y – 6= 0 , y que pasa por el punto (−3, 4).
E.13 Hallar la ecuación de la circunferencia que
tiene el centro en el punto C(3, 1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.
E.14. Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos A(2, 0), B(2, 3),
C(1, 3).
E.15. Hallar la ecuación de la circunferencia
circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).
CIRCUNFERENCIA
Ecuación
general: AX2 + CY2
+ DX + EY + F = 0
E.1 Calcula el área de la parte sombreada, si el
radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños
miden 2 cm.
E.2
Escriba la forma normal de la ecuación de una circunferencia con centro y
radio indicado:
a) C(0,0); R = 9
b) C(2,7); R= 10
c) C(3, -2) R = 7
E.3
Hallar el radio y las coordenadas del centro para cada ecuación:
a) ( x - 4)2 +
(y – 3)2 = 9 b)
4(x-3)2 + 4(y-2)2
= 10
E.4 Escribir la
ecuación normal (canónica) y la forma general de la ecuación de la
circunferencia que pasa por los puntos
indicados:
a)
P1 (7,-11) ; P2 (11,-5) ; P3 (3,-5) b)
P1 (1,3) ; P2
(5,5) ; P3 (5,3)
E.5 Escribir la
ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas:
a)
La circunferencia pasa por (8,-2) y tiene su
centro en (-1,3)
b)
La circunferencia pasa por el origen y tiene
su centro en (-3,4)
c)
Los extremos de un diámetro son los
puntos (-3,4) y (2,1).
d)
El centro de la circunferencia está
sobre el eje X, su radio es 1 y pasa por
,
e)
La circunferencia es tangente a la
recta 2X – Y = -3 y tiene su centro en
(5,12).
f)
Calcula el área de la instancia de parte sombreada, SIENDO AB = 10 cm,
sin ABCD cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de Centros B y D.
PARÁBOLA
Definición: Parábola =
P(x,y)/ Seg FP = Seg PD
Parábola:
Es el conjunto de puntos del plano que cumplen la condición: la distancia del
foco al punto es la misma distancia del punto a la directriz.
La forma normal de la ecuación de la parábola, con vértice en (h,k) y
directriz paralela al eje X (
abre sobre Y), es: (x –
h)2 = 4p( y – k).
Si la directriz es paralela al eje
Y (abre sobre el eje X), es: (y – k)2
= 4p( x – h).
E.1 Usando la definición,
hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en
F(2,0) y su dirección DD( directriz) es la recta de ecuación x = -2.
De acuerdo a la definición: La distancia de la directriz al punto P(x,y) es la misma distancia entre el punto P(x,y) y el Foco, por lo tanto:
Por
definición:
La
distancia directriz al P(x,y) es la misma que la existente entre el punto
P(x,y) y el foco.
Desarrollando
y reduciendo, llegamos a que Y2
= 8.X
